§ 83. Примеры решения задач по теме «Уравнение теплового баланса» — Задачи для самостоятельного решения — 4 — стр. 275

Закон сохранения импульса

По закону сохранения импульса, скорость системы после абсолютно неупругого удара:

\(v' = \frac{m_1 v}{m_1 + m_2}\)

Подставим значения:

\(v' = \frac{0,01 \cdot 500}{0,01 + 0,09} = \frac{5}{0,1} = 50 \, \text{м/с}\).

Закон сохранения энергии

Кинетическая энергия пули до удара:

\(E_{\text{кин}} = \frac{m_1 v^2}{2}.\)

Кинетическая энергия системы после удара:

\(E'_{\text{кин}} = \frac{(m_1 + m_2) v'^2}{2}.\)

Разность между этими энергиями (\( \Delta E \)) пойдёт на нагревание пули и кубика:

\(\Delta E = E_{\text{кин}} - E'_{\text{кин}} = \frac{m_1 v^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2) v'^2}{2}.\)

Подставим числовые значения:

\(\Delta E = \frac{0,01 \cdot 500^2}{2} - \frac{(0,01 + 0,09) \cdot 50^2}{2}.\)

Выполним расчёты:

\(\Delta E = \frac{0,01 \cdot 250000}{2} - \frac{0,1 \cdot 2500}{2}.\)

\(\Delta E = 1250 - 125 = 1375 \, \text{Дж}\).

Условие теплового равновесия

Количество теплоты, полученное пулей и кубиком, можно записать как:

\(Q_1 + Q_2 = \Delta E.\)

Где:

\(Q_1 = m_1 c_1 (t_{\text{к}} - t_{01}), \quad Q_2 = m_2 c_2 (t_{\text{к}} - t_{02}).\)

Тогда:

\(m_1 c_1 (t_{\text{к}} - t_{01}) + m_2 c_2 (t_{\text{к}} - t_{02}) = \Delta E.\)

Разделим все слагаемые на \( t_{\text{к}} \) и выразим его:

\(t_{\text{к}} = \frac{m_1 c_1 t_{01} + m_2 c_2 t_{02} + \Delta E}{m_1 c_1 + m_2 c_2}.\)

Подставим числовые значения:

\(t_{\text{к}} = \frac{126 \cdot 0,01 \cdot 30 + 460 \cdot 0,09 \cdot 20 + 1375}{126 \cdot 0,01 + 460 \cdot 0,09}.\)

Посчитаем числитель и знаменатель отдельно:

- Числитель:

\(126 \cdot 0,01 \cdot 30 = 37,8, \quad 460 \cdot 0,09 \cdot 20 = 828, \quad \text{общая сумма: } 37,8 + 828 + 1375 = 2240,8.\)

- Знаменатель:

\(126 \cdot 0,01 = 1,26, \quad 460 \cdot 0,09 = 41,4, \quad \text{общая сумма: } 1,26 + 41,4 = 42,66.\)

Теперь найдём \( t_{\text{к}} \):

\(t_{\text{к}} = \frac{2240,8}{42,66} \approx 47^\circ \text{C}\).