§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 712 — стр. 169

Итак, задача представляет собой систему уравнений:

\(\begin{cases}y = x^2 - 8x + 16 \\2x - 3y = 0\end{cases}\)

Первым шагом переписываем систему в виде:

\(\begin{cases}y = x^2 - 8x + 16 \\y = \frac{2}{3}x\end{cases}\)

Следующим шагом приравниваем выражения для \(y\):

\(\frac{2}{3}x = x^2 - 8x + 16\)

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\(3 \cdot \frac{2}{3}x = 3(x^2 - 8x + 16)\)

Это дает уравнение:

\(2x = 3x^2 - 24x + 48\)

и, в конечном итоге,

\(3x^2 - 26x + 48 = 0\)

Решая квадратное уравнение, мы получаем два корня: \(x = \frac{8}{3}\) и \(x = 6\). Подставляя каждое из этих значений обратно в уравнение \(y = \frac{2}{3}x\), мы находим соответствующие значения \(y\). Поэтому точки пересечения параболы и прямой \((2\frac{2}{3}, 1\frac{7}{9})\) и \((6, 4)\).

Уравнение данной параболы: \(y = 2x^2 + 9x - 5\).

Мы начинаем с вычисления значений \(y\) при \(x = 0\) и \(y = 0\), чтобы найти точки пересечения с осями.

При \(x = 0\), \(y = -5\).

Чтобы найти точки пересечения с осью \(Ox\), мы решаем уравнение \(2x^2 + 9x - 5 = 0\), что дает корни \(x = -5\) и \(x = 0.5\).

Следовательно, точки пересечения с осью \(Oy\) \((0, -5)\) и \(Ox\) соответственно: \((-5, 0)\) и \((0.5, 0)\).