§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 33. Уравнения с параметром — 739 — стр. 174

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 - ax + a - 3 = 0\).

Известно, что сумма корней равна коэффициенту при \(x\), то есть \(x_1 + x_2 = a\), а произведение корней равно свободному члену, \(x_1x_2 = a - 3\).

Нам нужно найти минимальное значение суммы квадратов корней, \(x_1^2 + x_2^2\).

Мы знаем, что \((x_1 + x_2)^2 = a^2\), а также \((x_1^2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\).

Раскрывая, получаем \(x_1^2 + x_2^2 = a^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a - 1)^2 + 5\).

Мы видим, что \((a - 1)^2\) всегда неотрицательно, так как это квадрат. Таким образом, минимальное значение \(x_1^2 + x_2^2\) достигается при \(a = 1\), и равно \(5\).

Итак, ответ: \(a = 1\), \((x_1^2 + x_2^2)_{\min} = 5\).