§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 33. Уравнения с параметром — 741 — стр. 174

Для начала, рассмотрим данное квадратное уравнение:
\(x^2-(4k+1)x+2(2k^2+k-3)=0\)
Для нахождения корней уравнения, воспользуемся дискриминантом:
\(D = (4k+1)^2 - 8(2k^2+k-3)\)
Раскроем скобки:
\(D = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24 = 25\)
Таким образом, дискриминант равен 25.

Учитывая, что дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:
\(x = \frac{4k + 1 \pm \sqrt{D}}{2}\)
Следовательно, корни уравнения равны:
\(x_1 = 2k - 2\) и \(x_2 = 2k + 3\)
Таким образом, для любых реальных значений \( k \), уравнение имеет корни \( x_1 = 2k - 2 \) и \( x_2 = 2k + 3 \).