§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 41. Доказательство неравенств — 1012 — стр. 227

Мы начинаем с данного неравенства: \(\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}\).

Затем мы умножаем обе части неравенства на \(\sqrt{a} > 0\), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:
\(\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a} < \sqrt{a} \cdot (\sqrt{a+1} - \sqrt{a-1})\)

Получаем \(1 < \sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1}\).

Затем мы наблюдаем, что \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1} > 1\) и \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1} > 0\).

Из этого следует, что \(\frac{1}{\sqrt{a}} < \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1}\) для всех положительных \(a\).

Таким образом, мы успешно доказали данное неравенство.