§ 3. Произведение и частное дробей — 9. Представление дроби в виде суммы дробей — 205 — стр. 55

Начнем с выделения полного квадрата:

\(\frac{m^{2}-6m+10}{m-3} = \frac{(m^{2}-6m+9)+1}{m-3} = \frac{(m-3)^{2}+1}{m-3} = m-3+\frac{1}{m-3}\)

Целые значения дроби \(\frac{1}{m-3}\) возможны при значениях знаменателя \(m-3 = \pm 1\), то есть при \(m = \{2, 4\}\).

\(m = 2\rightarrow \frac{m^2-6m+10}{m-3} =-2\)

\(m = 4\rightarrow\frac{m^2-6m+10}{m-3} =2\).

Проделаем те же шаги для второго случая:

\(\frac{(m-4)^{2}}{m-2}=\frac{m^{2}-8m+16}{m-2}=\frac{(m^{2}-4m+4)-4m+8+4}{m-2}=\)

\(\frac{(m-2)^{2}-4(m-2)+4}{m-2}=m-2-4+\frac{4}{m-2}=m-6+\frac{4}{m-2}\)

Целые значения дроби \(\frac{4}{m-2}\) возможны при значениях знаменателя \(m-2 = \{\pm 1, \pm 2, \pm 4\}\), то есть при \(m = \{-2, 0, 1, 3, 4, 6\}\).

\(m = -2\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =-9\)

\(m = 0\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =-8\)

\(m = 1\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =-9\)

\(m = 3\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =1\)

\(m = 4\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =0\)

\(m = 6\rightarrow \frac{(m-4)^{2}}{m-2} =1\).