Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 2 — 226 — стр. 57

Допустим \(\frac{c}{d}\) дополняет \(\frac{a}{b}\) до единицы

В таком случае мы начинаем с уравнения:
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = 1\)

Предполагается, что дробь \(\frac{c}{d}\) сократима, то есть её можно представить как \(\frac{ke}{kf}\), где \(\frac{e}{f}\) - несократимая дробь, а \(k\) - целое число, не равное \(0\) или \(1\).

После подстановки получаем:
\(\frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} = 1 - \frac{ke}{kf} = \frac{kf - ke}{kf} = \frac{k(f - e)}{kf}\)
Но это приводит к выводу, что дробь \(\frac{a}{b}\) также сократима на \(k\), что противоречит исходному условию.

Из этого противоречия мы делаем вывод, что дробь \(\frac{c}{d}\) несократима.