Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 247 — стр. 60

Рассмотрим исходное выражение:

$ab+\frac{ab}{a+b}(\frac{a+b}{a-b}-a-b)$

Начнем с раскрытия скобок:

$=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot (a+b)\cdot (\frac{1}{a-b}-1)$

Упростим:

$=ab+ab(\frac{1}{a-b}-1)$

Факторизуем:

$=ab(1+\frac{1}{a-b}-1)$

Далее, получаем:

$=\frac{ab}{a-b}$.

Рассмотрим выражение:

$(\frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2)\cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

$=(\frac{y(y-x)}{x(x+y)}+y(y-x))\cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$

Далее, выражение упрощается до:

$=y(y-x)(\frac{1}{x(x+y)}+1)\cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$

Мы далее получаем:

$=-\frac{yx(1+x(x+y))}{x(x+y)}+\frac{y}{x+y}$

Упрощаем:

$=-\frac{y(1+x(x+y))}{x+y}+\frac{y}{x+y}=\frac{y}{x+y}(-1-x(x+y)+1)=\frac{xy(x+y)}{x+y}$

Конечный результат:

$=-xy$.

Перейдем к следующему выражению:

$(\frac{1}{(2a-b{)}^2}+\frac{2}{4a^2-b^2}+\frac{1}{(2a+b{)}^2})\cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$=\frac{(2a+b{)}^2+2(4a^2-b^2)+(2a-b{)}^2}{(2a-b{)}^2(2a+b{)}^2}\cdot \frac{(2a+b{)}^2}{16a}$

Упростим:

$=\frac{4a^2+4ab+b^2+8a^2-2b^2+4a^2-4ab+b^2}{16a(2a-b{)}^2}$

Далее:

$=\frac{16a^2}{16a(2a-b{)}^2}$

Получаем окончательный результат:

$=\frac{a}{(2a-b{)}^2}$.

Рассмотрим последнее выражение:

$\frac{4c^2}{(c-2{)}^4}:(\frac{1}{(c+2{)}^2}+\frac{1}{(c-2{)}^2}+\frac{2}{c^2-4})$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$=\frac{4c^2}{(c-2{)}^4}:(\frac{(c-2{)}^2+(c+2{)}^2+2(c^2-4)}{(c+2{)}^2(c-2{)}^2})=\frac{4c^2}{(c-2{)}^4}\cdot \frac{(c+2{)}^2+(c-2{)}^2}{(c^2-4c+4+c^2+4c+4+2c^2-8)}$

Далее:

$=\frac{4c^2(c+2{)}^2}{(c-2{)}^{2}4c^2}=(\frac{c+2}{c-2}{)}^2$.