Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 3 — 247 — стр. 60

Рассмотрим исходное выражение:

\(a b+\frac{a b}{a+b}(\frac{a+b}{a-b}-a-b)\)

Начнем с раскрытия скобок:

\(= a b + \frac{a b}{a+b} \cdot (a+b) \cdot (\frac{1}{a-b}-1)\)

Упростим:

\(= a b + a b (\frac{1}{a-b}-1)\)

Факторизуем:

\(= a b (1 + \frac{1}{a-b}-1)\)

Далее, получаем:

\(= \frac{a b}{a-b}\).

Рассмотрим выражение:

\((\frac{y^{2}-x y}{x^{2}+x y}-x y+y^{2}) \cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}\)

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

\(= (\frac{y(y-x)}{x(x+y)}+y(y-x)) \cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}\)

Далее, выражение упрощается до:

\(= y(y-x)(\frac{1}{x(x+y)}+1) \cdot \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}\)

Мы далее получаем:

\(= -\frac{y x(1+x(x+y))}{x(x+y)}+\frac{y}{x+y}\)

Упрощаем:

\(= -\frac{y(1+x(x+y))}{x+y}+\frac{y}{x+y}= \frac{y}{x+y}(-1-x(x+y)+1)= \frac{xy(x+y)}{x+y}\)

Конечный результат:

\(= -x y\).

Перейдем к следующему выражению:

\((\frac{1}{(2 a-b)^{2}}+\frac{2}{4 a^{2}-b^{2}}+\frac{1}{(2 a+b)^{2}}) \cdot \frac{4 a^{2}+4 a b+b^{2}}{16 a}\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(= \frac{(2 a+b)^{2}+2(4 a^{2}-b^{2})+(2 a-b)^{2}}{(2 a-b)^{2}(2 a+b)^{2}} \cdot \frac{(2 a+b)^{2}}{16 a}\)

Упростим:

\(= \frac{4 a^{2}+4 a b+b^{2}+8 a^{2}-2 b^{2}+4 a^{2}-4 a b+b^{2}}{16 a(2 a-b)^{2}}\)

Далее:

\(= \frac{16 a^{2}}{16 a(2 a-b)^{2}}\)

Получаем окончательный результат:

\(= \frac{a}{(2 a-b)^{2}}\).

Рассмотрим последнее выражение:

\(\frac{4 c^{2}}{(c-2)^{4}}:(\frac{1}{(c+2)^{2}}+\frac{1}{(c-2)^{2}}+\frac{2}{c^{2}-4})\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(= \frac{4 c^{2}}{(c-2)^{4}} : (\frac{(c-2)^{2}+(c+2)^{2}+2(c^{2}-4)}{(c+2)^{2}(c-2)^{2}})= \frac{4 c^{2}}{(c-2)^{4}} \cdot \frac{(c+2)^{2}+(c-2)^{2}}{(c^2-4c+4+c^2+4c+4+2c^2-8)}\)

Далее:

\(= \frac{4 c^{2}(c+2)^{2}}{(c-2)^{2} 4 c^{2}}= (\frac{c+2}{c-2})^{2}\).