Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 764 — стр. 176

Рассмотрим уравнение \(x^{2} - 5\sqrt{2}x + 12 = 0\).

Мы начинаем с вычисления дискриминанта: \(D = 25 \cdot 2 - 4 \cdot 12 = 2\).

Отсюда получаем корни уравнения: \(x = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}\), что дает \(x_{1} = 2\sqrt{2}\) и \(x_{2} = 3\sqrt{2}\).

Проверка показывает, что \(x_{1} + x_{2} = 5\sqrt{2}\) и \(x_{1} \cdot x_{2} = 12\).

Для уравнения \(x^{2} + 2\sqrt{3}x - 72 = 0\) вычисляем дискриминант: \(D = 3 + 72 = 75 = (5\sqrt{3})^{2}\).

Корни уравнения равны \(x = -\sqrt{3} \pm 5\sqrt{3}\), что дает \(x_{1} = -6\sqrt{3}\) и \(x_{2} = 4\sqrt{3}\).

Проверка: \(x_{1} + x_{2} = -2\sqrt{3}\) и \(x_{1} \cdot x_{2} = -72\).

Уравнение \(y^{2} - 6y + 7 = 0\) имеет дискриминант \(D = 3^{2} - 7 = 2\).

Корни уравнения: \(y_{1,2} = 3 \pm \sqrt{2}\).

Проверка: \(y_{1} + y_{2} = 6\) и \(y_{1} \cdot y_{2} = 7\).

Для уравнения \(p^{2} - 10p + 7 = 0\) вычисляем дискриминант: \(D = 5^{2} - 7 = 18 = (3\sqrt{2})^{2}\).

Корни уравнения: \(p_{1,2} = 5 \pm 3\sqrt{2}\).

Проверка: \(p_{1} + p_{2} = 10\) и \(p_{1} \cdot p_{2} = 7\).