Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 765 — стр. 177

Рассмотрим уравнение \(2x^{2} + bx - 10 = 0\) с корнем \(x_{1} = 5\).

Используя теорему Виета, мы можем записать систему уравнений для второго корня \(x_{2}:\)

\(\begin{cases}5 + x_{2} = -\frac{b}{2} \\5x_{2} = -\frac{10}{2}\end{cases}\)

Решая эту систему, мы находим \(x_{2} = -1\). Подставляя \(x_{1}\) и \(x_{2}\) обратно в уравнение, мы находим параметр \(b = -8\). Таким образом, исходное уравнение имеет вид \(2x^{2} - 8x - 10 = 0\), и его корни \(x_{1} = 5\) и \(x_{2} = -1\).

Рассмотрим уравнение \(3x^{2} + bx + 24 = 0\) с корнем \(x_{1} = 3\).

Используя теорему Виета, мы записываем систему уравнений для второго корня \(x_{2}:\)

\(\begin{cases}3 + x_{2} = -\frac{b}{3} \\3x_{2} = \frac{24}{3}\end{cases}\)

Решая эту систему, мы находим \(x_{2} = 2\frac{2}{3}\). Подставляя \(x_{1}\) и \(x_{2}\) обратно в уравнение, мы находим параметр \(b = -17\). Таким образом, исходное уравнение имеет вид \(3x^{2} - 17x + 24 = 0\), и его корни \(x_{1} = 3\) и \(x_{2} = 2\frac{2}{3}\).

Рассмотрим уравнение \((b-1)x^{2} - (b+1)x = 72\) с корнем \(x_{1} = 3\).

Подставим корень в уравнение и решим для параметра \(b:\)

\(9(b-1) - 3(b+1) = 72 \\6b = 84 \\b = 14\)

Таким образом, уравнение принимает вид \(13x^{2} - 15x - 72 = 0\). По теореме Виета, мы находим второй корень \(x_{2} = -1\frac{11}{13}\).

Рассмотрим уравнение \((b-5)x^{2} - (b-2)x + b = 0\) с корнем \(x_{1} = \frac{1}{2}\).

Подставим корень в уравнение и решим для параметра \(b:\)

\(\frac{1}{4}(b-5) - \frac{1}{2}(b-2) + b = 0 \\3b = 1 \\b = \frac{1}{3}\)

Таким образом, уравнение принимает вид \(-\frac{14}{3}x^{2} + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0\), и его второй корень \(x_{2} = -\frac{1}{7}\).