Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 9 — 798 — стр. 179

$\frac{x+1}{6}+\frac{20}{x-1}=4$

Для начала исключаем значения $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x-1\ne 0$ (следовательно, $x\ne 1$).

$(x+1)(x-1)+20\cdot 6=4\cdot 6(x-1)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2-1+120=24x-24$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2-24x+119+24=0$

$x^2-24x+143=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=(-24{)}^2-4\cdot 1\cdot 143=576-572=4$

$x=\frac{24\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{24\pm 2}{2}$

$x_1=13,x_2=11$

Ответ: $11$ и $13$.

$\frac{x+15}{4}-\frac{21}{x+2}=2$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x+2\ne 0$ (следовательно, $x\ne -2$).

$(x+15)(x+2)-21\cdot 4=2\cdot 4(x+2)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2+15x+2x+30-84=8x+16$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2+17x-54-8x-16=0$

$x^2+9x-70=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=9^2-4\cdot 1\cdot (-70)=81+280=361$

$x=\frac{-9\pm \sqrt{361}}{2\cdot 1}=\frac{-9\pm 19}{2}$

$x_1=-14,x_2=5$

Ответ: $-14$ и $5$.

$\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1+1}=1$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x-1\ne 0$ и $x+1\ne 0$ ($x\ne 1$ и $x\ne -1$).

$12\cdot (x+1)-8\cdot (x-1)=1\cdot (x-1)(x+1)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$12x+12-8x+8=x^2-1$

$4x+20-x^2+1=0$

$x^2-4x-21=0$

По теореме Виета:

$x_1=-3,x_2=7$

Ответ: $-3$ и $7$.

$\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x-3\ne 0$ и $1-x\ne 0$ ($x\ne 3$ и $x\ne 1$).

$16\cdot (1-x)+30\cdot (x-3)=3\cdot (x-3)(1-x)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$16-16x+30x-90=3(x-3-x^2+3x)$

$14x-74=3(4x-x^2-3)$

$14x-74=12x-3x^2-9$

$14x-74-12x+3x^2+9=0$

$3x^2+2x-65=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=2^2-4\cdot 3\cdot (-65)=4+780=784$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{784}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm 28}{6}$

$x_1=-5,x_2=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}=4\frac{1}{3}$

Ответ: $-5$ и $4\frac{1}{3}$.

$\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{1-x^2}$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $1-x\ne 0$ и $1+x\ne 0$ ($x\ne 1$ и $x\ne -1$).

$\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{(1-x)(1+x)}$

$3\cdot (1+x)+1\cdot (1-x)=28$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$3+3x+1-x=28$

$x=12$

Ответ: $12$.

$\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{x^2-4}$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x-2\ne 0$ и $x+2\ne 0$ ($x\ne 2$ и $x\ne -2$).

$\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{(x-2)(x+2)}$

$5\cdot (x+2)-3\cdot (x-2)=20$

Решаем уравнение:

$2x+16=20$

$2x=4$

$x=2$

Ответ: нет корней.

$\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x-2}=\frac{29}{(x+1)(x-2)}$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x+1\ne 0$ и $x-2\ne 0$ ($x\ne -1$ и $x\ne 2$).

$(x+2)(x-2)+(x+3)(x+1)=29$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2-4+x^2+3x+x+3=29$

$2x^2+4x-30=0$

$x^2+2x-15=0$

По теореме Виета:

$x_1=3,x_2=-5$

Ответ: $3$ и $-5$.

$\frac{x+2}{x+3}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{(x+3)(x-1)}$

Исключаем $x$, при которых знаменатели обращаются в нуль: $x+3\ne 0$ и $x-1\ne 0$ ($x\ne -3$ и $x\ne 1$).

$(x+2)(x-1)+(x+1)(x+3)=4$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2+2x-x-2+x^2+3x+x+3=4$

$2x^2+5x+1-4=0$

$2x^2+5x-3=0$

Вычисляем дискриминант:

$D=5^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$

$x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 7}{4}$

$x_1=-3\text{ - не является корнем}$

$x_2=0,5$

Ответ: $0,5$.