Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 9 — 798 — стр. 179

\(\frac{x+1}{6}+\frac{20}{x-1}=4\)

Для начала исключаем значения \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x - 1 \neq 0 \) (следовательно, \( x \neq 1 \)).

\((x+1)(x-1)+20 \cdot 6=4 \cdot 6(x-1)\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2-1+120=24x-24\)

Получаем квадратное уравнение:

\(x^2-24x+119+24=0\)

\(x^2-24x+143=0\)

Вычисляем дискриминант:

\(D=(-24)^2-4 \cdot 1 \cdot 143=576-572=4\)

\(x=\frac{24 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}=\frac{24 \pm 2}{2}\)

\(x_1=13, x_2=11\)

Ответ: \(11\) и \(13\).

\(\frac{x+15}{4}-\frac{21}{x+2}=2\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x + 2 \neq 0 \) (следовательно, \( x \neq -2 \)).

\((x+15)(x+2)-21 \cdot 4=2 \cdot 4(x+2)\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2+15x+2x+30-84=8x+16\)

Получаем квадратное уравнение:

\(x^2+17x-54-8x-16=0\)

\(x^2+9x-70=0\)

Вычисляем дискриминант:

\(D=9^2-4 \cdot 1 \cdot (-70)=81+280=361\)

\(x=\frac{-9 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1}=\frac{-9 \pm 19}{2}\)

\(x_1=-14, x_2=5\)

Ответ: \(-14\) и \(5\).

\(\frac{12}{x-1}-\frac{8}{x+1+1}=1\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x - 1 \neq 0 \) и \( x + 1 \neq 0 \) (\( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \)).

\(12 \cdot (x+1)-8 \cdot (x-1)=1 \cdot (x-1)(x+1)\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(12x+12-8x+8=x^2-1\)

\(4x+20-x^2+1=0\)

\(x^2-4x-21=0\)

По теореме Виета:

\(x_1=-3, x_2=7\)

Ответ: \(-3\) и \(7\).

\(\frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x - 3 \neq 0 \) и \( 1 - x \neq 0 \) (\( x \neq 3 \) и \( x \neq 1 \)).

\(16 \cdot (1-x)+30 \cdot (x-3)=3 \cdot (x-3)(1-x)\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(16-16x+30x-90=3(x-3-x^2+3x)\)

\(14x-74=3(4x-x^2-3)\)

\(14x-74=12x-3x^2-9\)

\(14x-74-12x+3x^2+9=0\)

\(3x^2+2x-65=0\)

Вычисляем дискриминант:

\(D=2^2-4 \cdot 3 \cdot (-65)=4+780=784\)

\(x=\frac{-2 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 3}=\frac{-2 \pm 28}{6}\)

\(x_1=-5, x_2=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}=4 \frac{1}{3}\)

Ответ: \(-5\) и \(4 \frac{1}{3}\).

\(\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{1-x^2}\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( 1-x \neq 0 \) и \( 1+x \neq 0 \) (\( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \)).

\(\frac{3}{1-x}+\frac{1}{1+x}=\frac{28}{(1-x)(1+x)}\)

\(3 \cdot (1+x)+1 \cdot (1-x)=28\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(3+3x+1-x=28\)

\(x=12\)

Ответ: \(12\).

\(\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{x^2-4}\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x - 2 \neq 0 \) и \( x + 2 \neq 0 \) (\( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \)).

\(\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{20}{(x-2)(x+2)}\)

\(5 \cdot (x+2)-3 \cdot (x-2)=20\)

Решаем уравнение:

\(2x+16=20\)

\(2x=4\)

\(x=2\)

Ответ: нет корней.

\(\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x-2}=\frac{29}{(x+1)(x-2)}\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x + 1 \neq 0 \) и \( x - 2 \neq 0 \) (\( x \neq -1 \) и \( x \neq 2 \)).

\((x+2)(x-2)+(x+3)(x+1)=29\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2-4+x^2+3x+x+3=29\)

\(2x^2+4x-30=0\)

\(x^2+2x-15=0\)

По теореме Виета:

\(x_1=3, x_2=-5\)

Ответ: \(3\) и \(-5\).

\(\frac{x+2}{x+3}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{4}{(x+3)(x-1)}\)

Исключаем \( x \), при которых знаменатели обращаются в нуль: \( x + 3 \neq 0 \) и \( x - 1 \neq 0 \) (\( x \neq -3 \) и \( x \neq 1 \)).

\((x+2)(x-1)+(x+1)(x+3)=4\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(x^2+2x-x-2+x^2+3x+x+3=4\)

\(2x^2+5x+1-4=0\)

\(2x^2+5x-3=0\)

Вычисляем дискриминант:

\(D=5^2-4 \cdot 2 \cdot (-3)=25+24=49\)

\(x=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2}=\frac{-5 \pm 7}{4}\)

\(x_1=-3 \text{ - не является корнем}\)

\(x_2=0,5\)

Ответ: \(0,5\).