Задачи повышенной трудности — Задачи — 1279 — стр. 282

У нас есть уравнение:
\(\frac{\overline{ab}}{a+b} = x\) - целое число

Мы начинаем с разбора выражения:
\(\frac{\overline{ab}}{a+b} = x=\frac{10a + b}{a + b} = x\)

Далее, мы упрощаем уравнение:
\(10a + b = xa + xb\)

Разворачиваем уравнение:
\(10a - xa = xb - b\)

Факторизуем:
\(a(10 - x) = b(x - 1)\)

Условие \( b > a \) подразумевает, что \( x < 5.5 \). Также, учитывая, что \( x \geq 0 \), мы получаем возможные значения \( x \): \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).

Далее, мы проверяем каждое из возможных значений \( x \):
1. При \( x = 0 \): \( 10a = -b \), что не имеет решений.

2. При \( x = 1 \): \( 9a = 0 \), что дает \( a = 0 \), но не является решением, так как \( b = 0 \).

3. При \( x = 2 \): \( 8a = b \), что дает \( a = 1, b = 8 \), и число 18 является решением.

4. При \( x = 3 \): \( 7a = 2b \), что дает \( a = 2, b = 7 \), и число 27 является решением.

5. При \( x = 4 \): \( 6a = 3b \), что дает несколько решений: \( a = 1, b = 2 \) (число 12), \( a = 2, b = 4 \) (число 24), \( a = 3, b = 6 \) (число 36), \( a = 4, b = 8 \) (число 48).

6. При \( x = 5 \): \( 5a = 4b \), что дает \( a = 4, b = 5 \), и число 45 является решением.

Таким образом, решениями уравнения являются числа: \(12, 18, 24, 27, 36, 45, 48\).