§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 20. Решение систем уравнений с двумя переменными — 389 — стр. 121

\(\begin{cases}y^2 + 2x - 4y = 0 \\2y - x = 2\end{cases}\)

Решим первое уравнение относительно \(y\):

\(y^2 - 4y + 2x = 0\)

Получаем \(y^2 - 4y + 4 - 4 + 2x = 0\), что приводит к \((y - 2)^2 = 4 - 2x\).

Разрешим относительно \(y\):

\(y - 2 = \pm\sqrt{4 - 2x} \quad \Rightarrow \quad y = 2 \pm \sqrt{4 - 2x}\)

Подставим это значение \(y\) во второе уравнение системы:

\(2(2 \pm \sqrt{4 - 2x}) - x = 2\)

Рассмотрим два случая:

1. При \(y = 2 + \sqrt{4 - 2x}\):

\(2(2 + \sqrt{4 - 2x}) - x = 2\)

2. При \(y = 2 - \sqrt{4 - 2x}\):

\(2(2 - \sqrt{4 - 2x}) - x = 2\)

Решим каждое уравнение относительно \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Таким образом, мы получим два решения системы: \((-6, -2)\) и \((2, 2)\).

\(\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 7 \\y + 2x = 1\end{cases}\)

Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое:

\(x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7\)

Упростим уравнение:

\(3x^2 - 3x - 6 = 0\)

Решим уравнение относительно \(x\):

\(x^2 - x - 2 = 0\)

\((x - 2)(x + 1) = 0\)

Получаем два значения \(x\): \(x = 2\) и \(x = -1\). Теперь найдем соответствующие значения \(y\) с использованием второго уравнения:

1. При \(x = 2\): \(y + 2 \cdot 2 = 1 \Rightarrow y = -3\).

2. При \(x = -1\): \(y + 2 \cdot (-1) = 1 \Rightarrow y = 3\).

Итак, у нас есть два решения системы: \((2, -3)\) и \((-1, 3)\).