§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 20. Решение систем уравнений с двумя переменными — 391 — стр. 121

\(\begin{cases}x^{2}+y^{2}=12 \\ x y=-6\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^{2}+\left(-\frac{6}{x}\right)^{2}=12 \\ y=-\frac{6}{x}\end{cases}\)

\(x^{2}+\frac{36}{x^{2}}=12 \stackrel{x \neq 0}{\Rightarrow} x^{4}-12x^{2}+36=0 \Leftrightarrow (x^{2}-6)^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}=6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6}\)

\(\begin{cases}x= \pm \sqrt{6} \\ y=-\frac{6}{x}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases}x=-\sqrt{6}\\y=-\frac{6}{-\sqrt{6}}=\sqrt{6}\end{cases} \\ \begin{cases}x=\sqrt{6}\\y=-\frac{6}{\sqrt{6}}=-\sqrt{6}\end{cases} \end{cases}\)

Ответ: два решения \(\{(-\sqrt{6} ;\sqrt{6}),(\sqrt{6} ; -\sqrt{6})\}\).

\(\begin{cases}2 x^{2}-y^{2}=34 \\ x y=20\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2 x^{2}-\left(\frac{20}{x}\right)^{2}=34 \\ y=\frac{20}{x}\end{cases}\)

\(2 x^{2}-\frac{400}{x^{2}}=34 \mid : 2\)

\(x^{2}-\frac{200}{x^{2}}=17 \stackrel{x \neq 0}{\Rightarrow} x^{4}-17 x^{2}-200=0\)

\(D=(-17)^{2}-4 \cdot(-200)=1089=33^{2}\)

\(x^{2}=\frac{17 \pm 33}{2}, \quad\left\{\begin{array}{l}x^{2}=-8<0 \\ x^{2}=25\end{array}\right.\)

\(\begin{cases}x^{2}=25 \\ y=\frac{20}{x}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \pm 5 \\ y=\frac{20}{x}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-5 \\ y=\frac{20}{-5}=-4\end{cases}\\ \begin{cases}x=5 \\ y=\frac{20}{5}=4\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: два решения \(\{(-5 ;-4),(5 ; 4)\}\).