§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 20. Решение систем уравнений с двумя переменными — 393 — стр. 121

Рассмотрим данную систему уравнений:
\(\begin{cases}x^2 + y^2 = 10 \\xy = 3\end{cases}\)
Перепишем второе уравнение в виде \(y = \frac{3}{x}\) и подставим его в первое:
\(\begin{cases}x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10 \\y = \frac{3}{x}\end{cases}\)
Сделаем замену переменной, умножив оба члена первого уравнения на \(x^2\):
\(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Факторизуем его:
\((x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0\)
Отсюда получаем два уравнения:
1. \(x^2 - 1 = 0\), что дает решения \(x = \pm 1\).
2. \(x^2 - 9 = 0\), что дает решения \(x = \pm 3\).
Теперь подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(y = \frac{3}{x}\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):
1. При \(x = 1\) получаем \(y = 3\).
2. При \(x = -1\) получаем \(y = -3\).
3. При \(x = 3\) получаем \(y = 1\).
4. При \(x = -3\) получаем \(y = -1\).
Итак, четыре решения системы:
\(\{(-1, -3), (1, 3), (-3, -1), (3, 1)\}\).