§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 20. Решение систем уравнений с двумя переменными — 393 — стр. 121

Рассмотрим данную систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ xy=3\end{array}$
Перепишем второе уравнение в виде $y=\frac{3}{x}$ и подставим его в первое:
$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2=10\\ y=\frac{3}{x}\end{array}$
Сделаем замену переменной, умножив оба члена первого уравнения на $x^2$:
$x^4-10x^2+9=0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Факторизуем его:
$(x^2-1)(x^2-9)=0$
Отсюда получаем два уравнения:
1. $x^2-1=0$, что дает решения $x=\pm 1$.
2. $x^2-9=0$, что дает решения $x=\pm 3$.
Теперь подставим найденные значения $x$ в уравнение $y=\frac{3}{x}$, чтобы найти соответствующие значения $y$:
1. При $x=1$ получаем $y=3$.
2. При $x=-1$ получаем $y=-3$.
3. При $x=3$ получаем $y=1$.
4. При $x=-3$ получаем $y=-1$.
Итак, четыре решения системы:
$\{(-1,-3),(1,3),(-3,-1),(3,1)\}$.