Дополнительные упражнения к главе II — К параграфу 5 — 481 — стр. 111

Допустим, \(n=5\).

Тогда \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\sqrt{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8+1}=\sqrt{1681}=41\).

Для удобства введем новую переменную \(t=n+\frac{3}{2}\).

Тогда
\(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=\)
\(=\sqrt{(t-\frac{3}{2})(t-\frac{1}{2})(t+\frac{1}{2})(t+\frac{3}{2})+1}=\)
\(=\sqrt{(t^{2}-\frac{9}{4})(t^{2}-\frac{1}{4})+1}=\)
\(=\sqrt{t^{4}-\frac{10}{4}t^{2}+\frac{9}{16} +1}=\)
\(=\sqrt{t^{4}-\frac{5}{2}t^{2}+\frac{25}{16}}=\)
\(=\sqrt{(t^{2})^{2}-2 \cdot \frac{5}{4} t^{2}+(\frac{5}{4})^{2}}=\)
\(=\sqrt{(t^{2}-\frac{5}{4})^{2}}=\)
\(=\left|t^{2}-\frac{5}{4}\right|=\)
\(=\left|n^{2}+3n+\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\right|=\)
\(=n^{2}+3n+1 \in \mathbb{N}.\)
Таким образом, значение корня \(n^{2}+3n+1\) является натуральным числом для всех \(n \in \mathbb{N}\).