§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 634 — стр. 149

Рассмотрим уравнение \(\frac{3 x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}=1\).

Мы умножаем обе стороны на \((x+2)(x-2)\) для избавления от знаменателей и получения квадратного уравнения.

\((3 x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)=(x+2)(x-2)\)

Теперь решим полученное квадратное уравнение, учитывая ограничения:

\(3 x^{2}-5 x-2-(x^{2}+x-2)=x^{2}-4\)

\(x^{2}-6 x+4=0\)

Решив квадратное уравнение, получаем \(x_{1,2}=3 \pm \sqrt{5}\). Вместе с ограничениями \(x \neq \pm 2\), решение становится \(x_{1,2}=3 \pm \sqrt{5}\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{2 y-2}{y+3}+\frac{y+3}{y-3}=5\).

Умножим обе стороны на \((y+3)(y-3)\) для избавления от знаменателей.

\((2 y-2)(y-3)+(y+3)^{2}=5(y+3)(y-3)\)

Теперь решим полученное уравнение:

\(2 y^{2}-8 y+6+y^{2}+6 y+9=5(y^{2}-9)\)

\(2 y^{2}+2 y-60=0\)

\(y^{2}+y-30=0\)

Решив квадратное уравнение, получаем \(y_{1}=-6, y_{2}=5\). Вместе с ограничениями \(y \neq \pm 3\), решение становится \(y_{1}=-6, y_{2}=5\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{4}{9 y^{2}-1}-\frac{4}{3 y+1}=\frac{5}{1-3 y}\).

Перепишем уравнение в виде \(\frac{4}{9 y^{2}-1}-\frac{4}{3 y+1}=-\frac{5}{3 y-1}\).

Умножим обе стороны на \((3 y+1)(3 y-1)\).

\(4-4(3 y-1)+5(3 y+1)=0\)

Теперь решим полученное уравнение, учитывая ограничения:

\(4-12 y+4+15 y+5=0\)

\(3 y+13=0\)

\(y=-4 \frac{1}{3}\)

Вместе с ограничениями \(y \neq \pm \frac{1}{3}\), решение становится \(y=-4 \frac{1}{3}\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{4}{x+3}-\frac{5}{3-x}=\frac{1}{x-3}-1\).

\(\frac{4}{x+3}+\frac{5}{x-3}-\frac{1}{x-3}+1=0\)

Упростим:

\(\frac{4}{x+3}+\frac{4}{x-3}+1=0\)

Умножим обе стороны на \((x+3)(x-3)\).

\(4(x-3)+4(x+3)+x^{2}-9=0\)

Решим полученное квадратное уравнение:

\(x^{2}+8 x-9=0\)

\(x_{1}=-9, x_{2}=1\)

Вместе с ограничениями \(x \neq \pm 3\), решение становится \(x_{1}=-9, x_{2}=1\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{3}{x}+\frac{4}{x-1}=\frac{5-x}{x^{2}-x}\).

Умножим обе стороны на \(x(x-1)\).

\(3(x-1)+4x=(5-x)\)

Решаем уравнение:

\(8x=8\)

\(x=1\)

Вместе с ограничениями \(x \neq\{0 ; 1\}\), решений нет.

Рассмотрим уравнение \(\frac{3 y-2}{y}-\frac{1}{y-2}=\frac{3 y+4}{y^{2}-2 y}\).

Умножим обе стороны на \(y(y-2)\).

\((3 y-2)(y-2)-y=(3 y+4)\)

Решаем уравнение:

\(3y^{2}-8y+4-y=3y+4\)

\(3y^{2}-12y=0\)

\(3y(y-4)=0\)

\(y_{1}=0, y_{2}=4\)

Вместе с ограничениями \(y \neq\{0 ; 2\}\), решение становится \(y_{1}=0, y_{2}=4\).