§ 9. Дробные рациональные уравнения — 27. Решение задач — 648 — стр. 152

Пусть \(x \in \mathbb{Z}\) представляет числитель дроби, а \(y \in \mathbb{N}\) обозначает знаменатель. По условию у нас имеются следующие уравнения:
\(\begin{cases}y=x+3 \\\frac{x+7}{y+5}-\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}\)
Мы начнем решение этой системы методом подстановки:
\(\frac{x+7}{(x+3)+5}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{x+7}{x+8}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}\)
Умножаем обе части уравнения на \(2(x+8)(x+3):\)
\(2(x+7)(x+3)-2x(x+8)=(x+8)(x+3)\)
Это приводит нас к уравнению:
\(2(x^{2}+10x+21)-2x^{2}-16x=x^{2}+11x+24\)
Решим это уравнение:
\(x^{2}+7x-18=0\)
\((x+9)(x-2)=0\)
Таким образом, получаем два корня: \(x_{1}=-9\) и \(x_{2}=2\).

Однако, у нас есть ограничения: \(x\) не может быть равно \(-8\) или \(-3\).

Исключаем \(x=-9\), так как соответствующий знаменатель \(y=-6 \notin \mathbb{N}\). Кроме того, \(\frac{x}{y}=\frac{-9}{-6}=1,5\), что противоречит условиям.

Таким образом, остается \(x=2\), откуда следует \(y=2+3=5\).