Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
Пусть \( x \) - число, а \( \frac{1}{x} \) - его обратное число. Нам нужно доказать, что \( x + \frac{1}{x} \geq 2 \).
Выполним вычисления:
\( x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 + x - 2x}{x} = \frac{x^2 - x}{x} = \frac{x(x - 1)}{x} \)
Так как \( x > 0 \), то \( x(x-1) \geq 0 \). Следовательно, \( \frac{x(x-1)}{x} \geq 0 \), и, как результат, \( x + \frac{1}{x} - 2 \geq 0 \). Это означает, что \( x + \frac{1}{x} \geq 2 \) доказано.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.