§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 34. Числовые неравенства — 853 — стр. 189

Дано, что $a\ge 0$ и $b\ge 0$. Мы должны доказать, что $\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Мы начнем с разности квадратов $(\frac{a+b}{2}{)}^2-(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}{)}^2$.

Вычислим:
$(\frac{a+b}{2}{)}^2-(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}{)}^2=$
$=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{a^2+b^2}{2}=$
$=\frac{a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2}{4}=$
$=\frac{-a^2+2ab-b^2}{4}=$
$=\frac{-(a-b{)}^2}{4}\le 0$

Таким образом, получаем, что $\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.
Утверждение доказано.