§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — Задачи для самостоятельного решения — 3 — стр. 104

Для определения расстояния астероида до Солнца воспользуемся третьим законом Кеплера:
\(\frac{T_\text{аст}^2}{T_\text{З}^2} = \frac{a_\text{аст}^3}{a_\text{З}^3},\)
где:
- \(T_\text{аст}\) — период обращения астероида (в годах),
- \(T_\text{З} = 1 \, \text{год}\) — период обращения Земли,
- \(a_\text{аст}\) — большая полуось орбиты астероида (в астрономических единицах, а.е.),
- \(a_\text{З} = 1 \, \text{а.е.}\) — большая полуось орбиты Земли.

Шаг 1. Преобразуем закон Кеплера
Выразим \(a_\text{аст}\):
\(a_\text{аст} = a_\text{З} \cdot \sqrt(3){\frac{T_\text{аст}^2}{T_\text{З}^2}}.\)

Шаг 2. Переведем период астероида в годы
Период обращения астероида равен 410 суток. В одном году \(365 \, \text{суток}\). Тогда:
\(T_\text{аст} = \frac{410}{365} \approx 1{,}123 \, \text{года}.\)

Шаг 3. Подставим значения в формулу
\(a_\text{аст} = 1 \cdot \sqrt(3){(1{,}123)^2}.\)

Найдем \(1{,}123^2\):
\(1{,}123^2 \approx 1{,}261.\)

Теперь вычислим кубический корень:
\(\sqrt(3){1{,}261} \approx 1{,}1.\)

Таким образом:
\(a_\text{аст} \approx 1{,}1 \, \text{а.е.}.\)

Шаг 4. Переведем расстояние в километры
1 астрономическая единица равна \(1{,}496 \cdot 10^8 \, \text{км}\). Тогда:
\(a_\text{аст} \approx 1{,}1 \cdot 1{,}496 \cdot 10^8 \approx 1{,}645 \cdot 10^8 \, \text{км}.\)

Расстояние от астероида до Солнца составляет приблизительно \(1{,}645 \cdot 10^8 \, \text{км}\).